離職証明書を貰えるでしょうか？
娘の大学の奨学金の申請をするのに月収が減額になったことを証明したいのですが
パート扱いでは、ありましたが雇用保険等に加入していませんでした。10年以上の勤務がありましたが会社都合で（会社の仕事が減ったため）パートからリストラが始まり「辞めて頂きたい」と言われ退職しました。
パート扱いとは、勤務時間や時給はパート規定ですが雇用保険や社会保険等の加入がなく契約書も交わしていませんでした。
亡き社長の後継者が方針を打ち出されパートの首切りに応じました。失業保険が欲しいわけでは、ありません。
奨学金の申請理由に経済的に困難であることを証明するのに「会社都合で退職」と証明書があれば、分かりやすいと考えたのですが、雇用保険に加入していなければ、離職証明書は、貰えないのでしょうか？また、会社に要求することはできないのでしょうか？アドバイスよろしくお願いします。

雇用保険に加入していなければ離職証明書はもらえませんが、退職時等の証明で事業所から証明書を発行してもらう事が出来ます。その内容は、使用期間、業務の種類、その事業における地位、賃金および退職の事由（解雇の場合は解雇事由）の５つで、使用者は遅滞なくこれを交付しなければならないとされ、その中で労働者が希望（請求）しない事項については記載してはならないことになっています。（労働基準法第22条）
会社に記載してほしい事項を希望して依頼してみてください。

失業保険をもらう条件
失業保険をもらう条件に、求職活動をしている、というのがあるそうですが、
ハローワークに行って、求人を検索するだけで、求職活動と認められるのですか？

人生で一度もハローワークに行ったことがないもので。
経験のある方、教えてください。

会社を退職したら「離職票」をもらってハローワークに行って手続きをして受給資格を得ないと受給はできません。
受給資格を得るためには雇用保険被保険者期間が過去１年間で会社都合なら６ヶ月以上、自己都合なら過去２年間で１２ヶ月以上必要です。
受給するためには指定の求職活動を２回以上４週間ごとにして申告する必要があります。
ハローワークでのPCによる検索でも活動と認めてくれるところもあります。
ハローワークでの職業相談や求人広告への応募とか求人サイトへの応募でも応募したことが分かれば有効です。
電話での応募でもいいですがハローワークが確認しにくいいですので確認できるもののほうがいですね。
その他、受給のために必要なことはたくさんありますが大まかなところです。
参考にしてください。

契約期間について、会社都合の解雇なのに失業保険が９０日です。
現在５０才です。だから１８０日ではないのですか？
派遣で約3年8ヶ月働きました。契約終了となるのが
いつか分かりません。契約終了なら９０日といわれましたが、
書面契約は、入社時1度のみ書きましたが
それ以外は何も書いてません。

派遣で３年８か月働いたとしても

・雇用保険の被保険者期間がどのくらいか
・離職票に会社側が記載した離職理由は何か
・契約満了日はいつか
・契約更新を繰り返した場合、何回更新したか、１回の契約期間はどのくらいであったか

等が分からないと明確な回答が出来ません。質問さんは会社都合の解雇と捉えたかもしれませんが、実際は単なる契約満了による退職の可能性もあります。

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